Question

（2011•江苏模拟）设函数f(x)=lg

m-1 i=1 ix+mxa

m2

，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2，如果不等式f（x）＜（x-2）lgm在区间[1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是

a＜

3-m

2

．

Answer 1

分析：依据题意利用函数解析式，结合题设不等式求得1-a＞（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x，记为g（x）．根据m的范围，判断出g（x）在[1，+∞）上单调递减，进而求得函数g（x）的最大值，利用g（x）_max＜1-a求得a范围即可．

解答：解：f（x）=lg

1+2x+3x+…+(m-1)x+mx•a

m2

＜（x-2）lgm=lgm^x-2，
∴

1+2x+3x+…+(m-1)x+mx•a

m2

＜m^x-2．
∴1-a＞（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x=g（x）．
∵

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴g（x）_max=f（1）=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m-1

2

．
由题意知，1-a＞

m-1

2

，
∴a＜

3-m

2

．
故答案为：a＜

3-m

2

．

点评：本题给出对数型函数，求一个不等式在区间上恒成立的参数a的取值范围，着重考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了学生对基本初等函数的掌握，属于中档题．