Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0）．
（Ⅰ）当AA₁=AB=AC时，求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）若二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值为，试求实数t的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，∴分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）
则A（0，0，0），C₁（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴，
∴，，…（2分）
∴，．…（3分）
又∵AC₁∩AB=A
∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），C₁（0，t，3-2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A₁（0，0，3-2t），
∴，，．…（6分）
设平面ABC₁的法向量=（x，y，z），
则，令z=t，则=（0，2t-3，t）．…（8分）
同理可求平面BCC₁的法向量=（1，1，0）．…（10分）
设二面角A-BC₁-C的平面角为θ，
则有|cosθ|=||==．
化简得5t²-16t+12=0，解得t=2（舍去）或t=．
所以当t=时，二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值为．…（12分）

分析：（Ⅰ）以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的数量积证明，，从而可知A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）求出平面ABC₁的法向量=（0，2t-3，t）、平面BCC₁的法向量=（1，1，0），利用向量的夹角公式，建立方程，即可求得结论．
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．