Question

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且+=m（m∈R）．
（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（2）当m=-3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0）
∵椭圆的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，
∴=及
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为；
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即
又，，
两式相减得；
（2）由（1）知，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足，
点P的坐标为（1，），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．
∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-，∴AB中点坐标为（，），
又，，两式相减得；
∴直线AB的方程为y+=（x+），即x+2y+2=0．
分析：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），利用椭圆的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，可求几何量，从而可得椭圆方程，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由，结合点差法，即可求得直线AB的斜率；
（2）证明△PAB的重心坐标为（0，0）即可，确定AB中点坐标，点差法求直线AB的斜率，即可求得直线AB的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点差法求直线的斜率，正确运用椭圆方程是关键．