Question

（2013•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足

0≤ OP • OA ≤1 0≤ OP • OB ≤2.

则点P构成的区域的面积是

2

；点Q（x+y，x-y）构成的区域的面积是

4

．

Answer 1

分析：由题意可得 

0≤x≤1 0≤x+y≤2

，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．
设点Q（s，t），则x+y=s，x-y=t，可得

0≤s+t≤2 0≤s≤2

，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合
求得点Q（s，t）构成的区域的面积．

解答：解：由题意可得

0≤ OP • OA ≤1 0≤ OP • OB ≤2.

，即

0≤x≤1 0≤x+y≤2

，
画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），
故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．

设点Q（s，t），则x+y=s，x-y=t，即

x= s+t 2 y= s-t 2

．  再由

0≤x≤1 0≤x+y≤2

 可得

0≤s+t≤2 0≤s≤2

，
∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），
故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S_△OMN=2×

1

2

•OM•ON=2×

1

2

×2×2=4，


故答案为2，4．

点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．