Question

【题目】已知抛物线 和点D(2,0)，直线 与抛物线C交于不同两点A、B，直线BD与抛物线C交于另一点E.给出以下判断：

①直线OB与直线OE的斜率乘积为-2； ②轴； ③以BE为直径的圆与抛物线准线相切；

其中，所有正确判断的序号是（ ）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

Answer 1

【答案】B

【解析】

由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.

解：由题意，可设直线的方程为，

代入抛物线的方程，有．

设点，的坐标分别为，，

则，．

所．

则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．

将代入抛物线的方程可得，，从而，，

根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，

所以直线轴．所以②正确．

如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，

则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，

则．所以③不正确．

故选：B.