Question

（2010•孝感模拟）设（1+x+y）^x的展开式的不含x项的系数和为a_x，则

lim

x→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

1

．

Answer 1

分析：根据二项式定理，可得（1+x+y）^x的展开式，分析可得其中不含x的项为（1+y）^x，令y=1，可得a_x=2^x，进而分析可得

1

ax

=（

1

2

）^x，则{

1

ax

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，由等比数列的前n和公式可得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的值，由极限的计算公式，计算可得答案．

解答：解：（1+x+y）^x=[（1+y）+x]^x，其展开式的通项为T_r+1=C_x^r•（1+y）^x-r•x^r，
不含x的项为（1+y）^x，令y=1，可得不含x项的系数和为2^x，即a_x=2^x，
则

1

ax

=（

1

2

）^x，则{

1

ax

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，
则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1 2 (1- 1 2 n)

1- 1 2

=（1-

1

2

ⁿ），
则

lim

x→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

x→∞

（1-

1

2

ⁿ）=1；
故答案为1．

点评：本题考查二项式定理的应用，关键是由二项式定理求出a_x的值，并结合等比数列的前n和公式和极限的计算方法，进行计算．