Question

（2012•珠海二模）已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．
（1）求通项a_n；
（2）若b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足不等式S_n＜2012的n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据a₂=2，a₅=128，直接由等比数列的通项公式列式计算首项和公比，则通项公式可求；
（2）把（1）中求得的a_n代入b_n=log₂a_n，判断出数列{b_n}是等差数列，由等差数列的前n项和公式写出前n项和，然后求解不等式得到满足不等式S_n＜2012的n的最大值．

解答：解：解：（1）∵数列{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=128
∴

a1q=2 a1q4=128

，解得

a1= 1 2 q=4

．
于是an=a1qn-1= 

1

2

×4n-1=22n-3；
（2）因为an=22n-3，
由b_n=log₂a_n，可得bn=log2an=log222n-3=2n-3．
所以b_n-b_n-1=（2n-3）-[2（n-1）-3]=2．
所以数列{b_n}是一个以-1为首项，2为公差的等差数列．  
于是Sn=-n+

n(n-1)

2

×2=n2-2n．
因为S_n＜2012，即n²-2n＜2012，即n²-2n-2012＜0
解得

2- 4+4×2012

2

＜n＜

2+ 4+4×2012

2

，即1-

2013

＜n＜1+

2013

．
经过估算，得到n的最大值为45．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了对数式的运算性质，考查了数列的和，是基础题．