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     （本大题14分）

    已知函数定义域为，且满足.

    （Ⅰ）求解析式及最小值；

    （Ⅱ）求证：，。        

    （Ⅲ）设。求证：，.

     

    【答案】

    （1），

      （2）见解析；（3）

    【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

    （1）求解导数，然后判定单调性，然后分析最值。

    （2）求解导数可知

    （3）构造函数，利用导数分析最值，进而证明不等式。

    解：（1），

      （2）求导可知：

    （3），

       故，令

       求导易知最大值为，而，且

       故

     

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    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，

         求△AOB面积的最大值．

     

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    ，，其中表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”

    （1）若，试写出，的表达式；

    （2）已知函数试判断是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，

    如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；

    已知，函数是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围

     

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    （I）求与的关系式；

    （II）求的单调区间；

    （III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

     

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