(本小题14分)
已知函数的图像在[a,b]上连续不断,定义:
,
,其中
表示函数
在D上的最小值,
表示函数
在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得
对任意的
成立,则称函数
为
上的“k阶收缩函数”
(1)若,试写出
,
的表达式;
(2)已知函数试判断
是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,
如果是,求出对应的k,如果不是,请说明理由;
已知,函数
是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围
解:(1)由题意可得:,
。
(2),
,
当时,
当时,
当时,
综上所述,。
即存在,使得
是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
(3),令
得
或
。
函数的变化情况如下:
x |
|
0 |
|
2 |
|
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
|
0 |
|
4 |
|
令得
或
。
(i)当时,
在
上单调递增,因此,
,
。因为
是
上的“二阶收缩函数”,所以,
①对
恒成立;
②存在,使得
成立。
①即:对
恒成立,由
解得
或
。
要使对
恒成立,需且只需
。
②即:存在,使得
成立。
由解得
或
。
所以,只需。
综合①②可得。
(i i)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
因此,,
,
,
显然当时,
不成立。
(i i i)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,因此,
,
,
,
显然当时,
不成立。
综合(i)(i i)(i i i)可得:
【解析】略
科目:高中数学 来源:2011届北京市东城区示范校高三第二学期综合练习数学文卷 题型:解答题
(本小题14分)已知函数.
(1)若,点P为曲线
上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数在
上为单调增函数,试求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2015届陕西省高一上学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题14分)已知二次函数满足:
,
,且该函数的最小值为1.
⑴ 求此二次函数的解析式;
⑵ 若函数的定义域为
=
.(其中
). 问是否存在这样的两个实数
,使得函数
的值域也为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江西省协作体高三第三次联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题14分)已知函数
(Ⅰ)若且函数
在区间
上存在极值,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)如果当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)求证:,
……
.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省高三上学期第一次调研考试数学试卷(实验班) 题型:解答题
(本小题14分)已知函数f(x)=,x∈[1,+∞
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围
(3)求f(x)的最小值
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科目:高中数学 来源:2010-2011年福建省四地六校高二下学期第一次月考数学理卷 题型:解答题
(本小题14分)
已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线
在
处切线的斜率;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,若对任意
,均存在
,使得
,求
的取值范围。
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