Question

设函数f(x)=a?b，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点(

π

4

，2)．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算及三角函数的周期及其求法，
（1）由

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），我们易出求f（x）=

a

•

b

的解析式（含参数m），同由y=f（x）的图象经过点(

π

4

，2)，将点的坐标代入可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出m的值．
（2）由（1）的结论，我们可以写出函数f（x）的解析式，利用辅助角公式易将其转化为一个正弦型函数，然后根据正弦型函数的周期T=

2π

ω

，求出f（x）的最小正周期．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x，
∵图象经过点(

π

4

，2)，
∴f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，
解得m=1．
（2）当m=1时，
f(x)=1+sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴T=

2π

2

=π

点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|，周期T=

2π

ω

进行求解．