Question

已知向量

a

=(

2

，-2)，

b

=(sin(

π

4

+2x)，cos2x)（x∈R）．设函数f(x)=

a

•

b

（1）求f(-

π

4

)的值；     
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算可求得f（x）=

a

•

b

，从而可求得f（-

π

4

）的值；
（2）由（1）知f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），由x∈[0，

π

2

]⇒2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，利用正弦函数的单调性质即可求f（x）在x∈[0，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵

a

=（

2

，-2），

b

=（sin（

π

4

+2x），cos2x），
∴f（x）=

a

•

b

=

2

sin（

π

4

+2x）-2cos2x
=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）-2cos2x
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∴f（-

π

4

）=

2

sin（-

3π

4

）=-1；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，-1≤

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

．
∴f（x）在x∈[0，

π

2

]上的值域为[-1，

2

]．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查三角函数中的恒等变换应用，考查复合三角函数的单调性，属于中档题．