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    求证：以过抛物线焦点的弦为直径的圆必与相切（用分析法证）

     

    【答案】

    见解析。

    【解析】

    试题分析：

    证明：（如图）过焦点，作垂直准线，取的中点，作垂直准线．

    要证明以为直径的圆与准线相切，

    只需证，

    由抛物线的定义：，，

    所以，

    因此只需证．

    根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．

    所以，以过焦点的弦为直径的圆必与相切．

    考点：本题主要考查分析法的定义和方法、抛物线定义。

    点评：数形结合，综合应用解析几何知识。

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆O：x2+y2=4，A（-1，0），B（1，0），直线l与圆O切于点S（l不垂直于x轴），抛物线过A、B两点且以l为准线，以F为焦点．
    （1）当点S在圆周上运动时，求证：|FA|+|FB|为定值，并求出点F的轨迹C方程；
    （2）曲线C上有两个动点M，N，中点D在直线y=l上，若直线l′经过点D，且在l′上任取一点P（不同于D点），都存在实数λ，使得
    DP
    =λ(
    MP
    |
    MP
    |
    +
    NP
    |
    NP
    |
    )    ，证明：直线l′必过定点，并求出该定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
    （Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
    （Ⅱ）若
    FA
    =λ1
    AP
    ，
    BF
    =λ2
    FA
    ，
    λ1
    λ2
    ∈[
    1
    4
    ，
    1
    2
    ]    ，求λ2的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1、F2分别是椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设
    F1P
    =λ
    F1Q

    （I）若λ∈[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；
    （II）求证：直线MQ过定点．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省六校高三5月高考模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图所示：已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点。

    （1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；

    （2）设抛物线在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程；

    （3）设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D，是否存在直线使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。

     

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