Question

已知函数．

（I）求；

（II）已知数列满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅲ） 求证：a₁a₂a₃…a_n＞．

Answer 1

考点：

数列与函数的综合．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（I）证明F（x）+F（1﹣x）=3，利用倒序相加法，可得结论；

（II）证明{}是以2为公差以为首项的等差数列，可求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅲ）证明，即可得到结论．

解答：

（I）解：因为F（x）+F（1﹣x）==3

所以设（1）

（2）

（1）+（2）得：2S=3×2012

所以S=3018﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

（II）解：由a_n+1=F（a_n），两边同减去1，得a_n+1﹣1=

所以﹣=2，

所以{}是以2为公差以为首项的等差数列，

所以

所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

（III）证明：因为（2n）²＞（2n）²﹣1=（2n﹣1）（2n+1）

所以

所以（a₁a₂a₃…a_n）²＞

所以a₁a₂a₃…a_n＞．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

点评：

本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．