Question

已知函数．
（I）求函数f（x）图象的对称中心和单调递增区间；
（II）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a，b，c依次成等比数列，求f（B）的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为f（x）=，由此求得它的对称中心和单调增区间．
（2））△ABC中，由等比数列的定义、余弦定理以及基本不等式求得cosB≥，从而得到B的范围，再根据正弦函数的定义域和值域求得f（B）的最值．
解答：解：（1）==，…（2分）．
令2x+=kπ，k∈z，解得 x=-，k∈z，
故函数f（x）图象的对称中心为…（4分）．
由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得，
故函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z…（6分）．
（2））△ABC中，∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
由余弦定理可得  ，∴…（8分）．
由于f（B）=4sin（）+1，，
当且仅当=，即时，f（B）_max=5，…（10分）．
当且仅当，即时，f（B）_min=1…（12分）．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性、单调性、定义域和值域，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于中档题．