Question

已知函数f（x）=e^|lnx|+a|x-1|（a为实数）
（I）若a=1，判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性（不必证明）；
（II）若对于任意的x∈（0，1），总有f（x）的函数值不小于1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）a=1时，f（x）=e^lnx+x-1=2x-1，故易知f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（II）要使对于任意的x∈（0，1），f（x）的函数值不小于1成立，即使

1

x

-ax+a≥1（x∈（0，1））恒成立，利用分离参数法可求．

解答：解：（I）当x≥1时，f（x）=e^lnx+x-1=2x-1，∴f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（II）当0＜x＜1时，由

1

x

-ax+a≥1得(1-x)a≥

x-1

x

∵x∈（0，1），∴1-x＞0，∴a≥-

1

x

在x∈（0，1）上恒成立而-

1

x

＜-1，
∴a≥-1，即a的取值范围为[-1，+∞）

点评：此题考查学生单调性的判断，考查函数的恒成立问题处理策略，是一道中档题．