Question

已知函数f（x）=x（x-

1

2

）的定义域为（n，n+1）（n∈N^*），f（x）的函数值中所有整数的个数记为g（n）．
（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表达式；
（3）若对于任意的n∈N^*，不等式（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）l≥g（n）-25（其中C_nⁱ，i=1，2，3，…，n为组合数）都成立，求实数l的最小值．

Answer 1

分析：（1）f（x）的对称轴是x=

1

4

，当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，再把n=1，2，3，4，5分别代入即可得到g（3）的值；
（2）进而得到g（n）的表达式；
（3）先对原不等式进行整理，把所求问题转化为求数列{an=

2n-25

2n

}的最大值问题；再通过作差求出数列的最大值即可求出结论．

解答：解：（1）当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是增函数，
n=1时，f（1）=

1

2

，f（2）=2×（2-

1

2

）=3；有整数1，2，故g（1）=2；
n=2时，f（3）=3×（3-

1

2

）=

15

2

，有整数4，5，6，7；故g（2）=4；
n=3时，f（4）=4×（4-

1

2

）=14，有整数8，9，10，11，12，13；故g（3）=6；
n=4时，f（5）=5×（5-

1

2

）=

45

2

，有整数15，16，17，18，19，10，21，22；故g（4）=8；
n=5时，f（6）=6×（6-

1

2

）=33，有整数23，24，25，26，27，28，29，30，31，32；故g（5）=10；
（2）∴g（n）=2n．
（3）∴（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）l≥g（n）-25⇒2ⁿ•L≥2n-25⇒L≥

2n-25

2n

令an=

2n-25

2n

，
则a_n+1-a_n=

2(n+1)-25

2n+1

-

2n-25

2n

=

27-2n

2n+1

；
n≤13时，a_n+1-a_n＞0，{a_n}递增；
n≥14时，a_n+1-a_n＜0，{a_n}递减；
n=13时，a_n有最大值，a₁₃=

2×13-25

213

=

1

213

．
∴L的最小值为

1

213

．

点评：本题主要考查二项式定理以及归纳法的应用．本题的易错点在于没有看清题中的区间是开区间，从而把问题复杂话．