点是曲线上的动点,曲线在点处的切线与轴分别交于两点,点是坐标原点.给出三个结论:①;②△的周长有最小值;③曲线上存在两点,使得△为等腰直角三角形.其中正确结论的个数是
A.1 | B.2 | C.3 | D.0 |
C
解析试题分析:设动点P(m,)(m>0),则y′=-,∴f′(m)=-,
∴过动点P(m,)的切线方程为:y-=-(x-m).
①分别令y=0,x=0,得A(2m,0),B(0,).
则|PA|=,|PB|=,∴|PA|=|PB|,故①正确;
②由上面可知:△OAB的周长=2m++2≥2×2+2=4+2,当且仅当m=,即m=1时取等号.故△OAB的周长有最小值4+2,即②正确.
③假设曲线C上存在两点M(a,),N(b,),不妨设0<a<b,∠OMN=90°.
则|ON|=|OM|,,
所以
化为,解得,故假设成立.因此③正确.
故选C。
考点:本题主要考查导数的概念及应用;不等式的解法及应用。
点评:理解导数的几何意义、基本不等式的性质、两点间的距离公式及等腰直角三角形的性质是解题的关键.较难。
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