Question

1．已知单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为60°，则向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意分别求出|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{7}{2}$，再根据向量的夹角公式计算即可．

解答 解：∵单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为60°，
∴|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$²=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=4+1+4×$\frac{1}{2}$=7，
$\overrightarrow{b}$²=9$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$²-12$\overrightarrow{{e}_{2}}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=9+4-12×$\frac{1}{2}$=7，
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$）=-6$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+$\overrightarrow{{e}_{2}}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=-6+2+$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
设向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$的夹角为θ，则 0≤θ≤π，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求向量的模的方法，根据三角函数的值求角，属于中档题．