Question

已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若不等式|f（x）-m|＜1对任意恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos²x=（1+cos2x）
∴f（x）=
=sin2x-（1+cos2x）-=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1
令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z
（2）不等式|f（x）-m|＜1，即-1+m＜f（x）＜1+m
∵，得2x-∈[-，]
∴-1≤sin（2x-）≤，得f（x）=sin（2x-）-1∈[-2，-]
∵不等式|f（x）-m|＜1，对任意恒成立
∴-2≥-1+m且1+m≥-，解之得-≤m≤-1
即实数m的取值范围是[-，-1]．
分析：（1）根据二倍角三角函数公式和辅助角公式，将函数化简整理得f（x）=sin（2x-）-1，结合正弦函数单调区间的公式，解不等式即可得到函数f（x）的单调减区间；
（2）设不等式|f（x）-m|＜1的解集合是M，函数f（x）=sin（2x-）-1在区间上的值域N，可得N是M的子集，由此建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围．
点评：本题给出三角函数式，要求我们将其化简成标准形式，并求函数的减区间，着重考查了三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．