Question

复数z=-|

i

1+ 3 i

|-

3

2

i是一元二次方程ax²+bx+1=0（a、b∈R）的一个根，
（1）求a和b的值；            
（2）若(a+bi)

.

u

+u=z（u∈C），求u．

Answer 1

分析：（1）由题意可得实系数一元二次方程ax²+bx+1=0的另一个根为

3

2

-

1

2

i，利用根与系数的关系求出a 和b的值．
（2）由（1）知(1+i)

.

u

+u=-

1

2

-

3

2

i，设 u=x+yi（x，y∈R），则有：(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-

1

2

-

3

2

i，结合复数相等的条件得出关于x，y的方程组，解之即可得出u值．

解答：解：（1）由题得z=-

1

2

-

3

2

i（2分）   
所以方程另一个根为-

1

2

+

3

2

i（4分）
由韦达定理知：得a=1，b=（16分）
（2）由（1）知(1+i)

.

u

+u=-

1

2

-

3

2

i，设 u=x+yi（x，y∈R）（7分）
则：(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-

1

2

-

3

2

i，
得(2x+y)+xi=-

1

2

-

3

2

i（8分）
2x+y=-

1

2

且 x=-

3

2

，所以u=-

3

2

+

2 3 -1

2

i（12分）

点评：本题考查实系数一元二次方程根与系数的关系、复数相等的条件等基本知识，判断另一个根为

3

2

-

1

2

i，是解题的关键．