Question

17．设函数f（x）是（-∞，0）的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2013）
• B． （-2013，0）
• C． （-∞，-2019）
• D． （-2019，0）

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=x²f（x），求其求导可得g′（x），结合题意可得，当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（-∞，0）为减函数；进而将（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＞0转化为g（x+2016）＞g（-3），结合函数的单调性分析可得x+2016＜-3，解可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=x²f（x），
其导数g′（x）=2xf（x）+x²f（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
又由当x∈（-∞，0）时，2f（x）+xf′（x）＞0，则有g′（x）＜0，
即函数g（x）在（-∞，0）为减函数；
（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＞0⇒（x+2016）²f（x+2016）＞9f（-3）
⇒g（x+2016）＞g（-3），
必有x+2016＜-3；
解可得：x＜-2019，
即不等式（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＞0的解集为（-∞，-2019）；
故选：C．

点评 本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．