Question

6．设函数f（x）=ax-1，g（x）=lnx，a∈R，设F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求曲线y=g（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数F（x）的单调区间；
（3）当a＞0时，若函数F（x）没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算g′（1），g（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）求出函数的单调区间，求出函数的最小值，求a的范围即可．

解答 解（1）g′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（1）=1，g（1）=0，
故切点（1，0），
所以切线方程y=x-1-----（4分）
（2）F（x）=ax-1-lnx，F′（x）=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0）
当a≤0时，F′（x）≤0，
∴F（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，F（x）在区间（0，$\frac{1}{a}$）单调递减，在区间（$\frac{1}{a}$+∞）单调递增---（8分）
（3）∵a＞0，∴F（x）在区间（0，$\frac{1}{a}$）单调递减，在区间（$\frac{1}{a}$，+∞）单调递增，
∴F（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$+lna＞0，
令h（a）=1+lna-$\frac{1}{a}$，
h′（a）=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，故h（a）在（0，+∞）递增，
而h（1）=0，故a＞1，
∴a的取值范围（1，+∞）----（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．