Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx，将f（x）图象上所有点的横坐标都变化到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，那么g（x）的周期是4π，值域是[-2，2]，含原点的递增区间是[$-\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx化简，根据平移变换的规律求出函数g（x），即可求解周期，值域和单调性．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx，
化简可得：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），横坐标都变化到原来的2倍，
可得：2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=g（x）．
∴g（x）的周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
值域为[-2，2]．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：$4kπ-\frac{4π}{3}$≤x≤$4kπ+\frac{2π}{3}$．
∴含原点的递增区间[$-\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
故答案为：4π，[-2，2]，[$-\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数性质的运用，属于基础题．