Question

11．已知函数f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≤2x的解集包含[$\frac{1}{2}，1$]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意得当x∈[$\frac{1}{2}，1$]时，f（x）≤2x恒成立，化简可得|x+a|≤1，即-1-x≤a≤1-x，由此求得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2，即|x+1|+|2x-1|≥2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+1-2x≥2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{x+1+1-2x≥2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{x+1+2x-1≥2}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1，解②求得-1≤x≤0，解③求得x≥$\frac{2}{3}$．
综上可得，不等式的解集为{x|x≤0，或 x≥$\frac{2}{3}$}．
（2）若f（x）≤2x的解集包含[$\frac{1}{2}，1$]，则当x∈[$\frac{1}{2}，1$]时，f（x）≤2x恒成立，
即|x+a|+|2x-1|≤2x恒成立，即|x+a|+2x-1≤2x恒成立，即|x+a|≤1，
即-1≤x+a≤1，即-1-x≤a≤1-x，∴-$\frac{3}{2}$≤a≤0．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于中档题．