Question

18．已知函数f（x）=sin2x-2sin²x．
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（II）求函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用降次公式，辅助角公式化简，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）求出内层函数范围，结合三角函数的性质可得函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值．

解答 解：（I）函数f（x）=sin2x-2sin²x．
化简可得：f（x）=sin2x-1+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$．k∈Z．
可得：$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{π}{8}$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z．
（II）由（I）函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]．
当2x+$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值为$\sqrt{2}×（-1）-1$=$-\sqrt{2}-1$．
故得函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值为-（$\sqrt{2}+1$）．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用公式化简是解决本题的关键．