Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F₁为左焦点，且|AF₁|=2，又椭圆C过点$（0，2\sqrt{3}）$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x²+y²=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k₁，k₂，若A，P，Q三点共线，求$\frac{k_1}{k_2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得a-c=2，b=$2\sqrt{3}$，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得${k}_{PA}•{k}_{1}=\frac{12-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-16}=-\frac{3}{4}$，再由已知点Q（x₂，y₂）在圆x²+y²=16上，AB为圆的直径，可得k_QA•k₂=-1，由A，P，Q三点共线，可得k_AP=k_QA，k_PA•k₂=-1．进一步求得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=-\frac{3}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得a-c=2，b=$2\sqrt{3}$，
又b²=a²-c²=12，解得a=4．
故所求椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴${k}_{PA}•{k}_{1}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}=\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{x}_{1}-16}$．
∵P（x₁，y₁）在椭圆C上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1$，即${{y}_{1}}^{2}=12-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}$．
∴${k}_{PA}•{k}_{1}=\frac{12-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-16}=-\frac{3}{4}$．…①
由已知点Q（x₂，y₂）在圆x²+y²=16上，AB为圆的直径，
∴QA⊥QB．
∴k_QA•k₂=-1．
由A，P，Q三点共线，可得k_AP=k_QA，
∴k_PA•k₂=-1．…②
由①、②两式得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．