Question

11．已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x₀使得f（x₀）=f'（x₀），则称x₀是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x²，②f（x）=e^-x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意，依次分析四个函数，分别求函数的导数，根据条件f（x₀）=f′（x₀），确实是否有解即可．

解答 解：根据题意，依次分析所给的函数：
①、若f（x）=x²；则f′（x）=2x，由x²=2x，得x=0或x=2，这个方程显然有解，故①符合要求；
②、若f（x）=e^-x；则f′（x）=-e^-x，即e^-x=-e^-x，此方程无解，②不符合要求；
③、f（x）=lnx，则f′（x）=$\frac{1}{x}$，若lnx=$\frac{1}{x}$，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；
④、f（x）=tanx，则f′（x）=-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$，即sinxcosx=-1，变形可sin2x=-2，无解，④不符合要求；
故选：B．

点评 本题考查导数的计算，关键是理解函数“巧值点”的定义．