Question

4．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（　　）

• A． $\sqrt{17}$
• B． 7
• C． 2$\sqrt{17}$
• D． 9

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
得${\overrightarrow{CD}}^{2}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{BD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$即可计算答案．

解答 解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{AB}=0$．
∵$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{BD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$
═6²+4²+8²+2×6×8cos120°=68，
∴CD=2$\sqrt{17}$
故选：C

点评 本题考查了向量的运算和数量积运算，属于中档题．