Question

9．双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\sqrt{5}$，则其渐近线方程为（　　）

• A． $y=±\frac{1}{2}x$
• B． y=±2x
• C． $y=±\frac{{\sqrt{6}}}{6}x$
• D． $y=±\sqrt{6}x$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在y轴上，由离心率公式可得e²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=5，变形可得$\frac{b}{a}$=2；由焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
其焦点在y轴上，且c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
若其离心率e=$\sqrt{5}$，则有e²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=5，则有$\frac{b}{a}$=2；
又由双曲线的焦点在y轴上，其渐近线方程为：y=±$\frac{a}{b}$x，即y=±$\frac{1}{2}$x；
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线的焦点的位置．