Question

13．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-ax\;\;\;\;\;\;\;（x≥0）\\ x+\frac{1}{x}-a\;\;\;\;（x＜0）\end{array}\right.$没有零点，则实数a的取值范围是（-2，e）．

Answer 1

分析 利用分段函数，分别求解函数的导数，判断函数的单调性，通过a的讨论以及函数的极值，求解即可．

解答 解：当x＜0时，$f（x）=x+\frac{1}{x}-a，\;f'（x）=1-\frac{1}{x^2}=\frac{（x+1）（x-1）}{x^2}$，
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=-1时，f（x）取得极大值f（-1）=-2-a，根据题意，-2-a＜0，a＞-2；
当x≥0时，f'（x）=e^x-a，当a∈（-2，1]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，
所以f_min（x）=f（0）=1＞0，满足题意；
当a＞1时，令f'（x）=0，得x=lna，
当x∈[0，lna）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x=lna时，f（x）取得极大值f（lna）=a-alna，根据题意，a-alna＞0，
所以1-lna＞0，lna＜1，a＜e，
∴a∈（1，e），
综上所述，实数a的取值范围是（-2，e）．
故答案为：（-2，e）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点个数，考查分类讨论以及转化思想的应用．