Question

10．已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（sinα，cosα）．
（1）若${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）^2}=7$（O为坐标原点），求向量$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$夹角的大小；
（2）若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$的坐标，再由${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）^2}=7$计算可得（2+sinα）²+cos²α=7，解可得sinα、cosα的值，由向量数量积的计算公式计算可得答案；
（2）根据题意，分析可得若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，由数量积的计算公式可得cosα+sinα=$\frac{1}{2}$，由同角三角函数的基本关系式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，A（2，0），B（0，2），C（sinα，cosα）；
则$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（sinα，cosα），
则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（2+sinα，cosα）；
又由${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）^2}=7$，则有（2+sinα）²+cos²α=7，
解可得$sinα=\frac{1}{2}$，
则有$cosα=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
设$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ，
则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}}{{|{\overrightarrow{OB}}||{\overrightarrow{OC}}|}}=\frac{2cosα}{2}=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$；
（2）$\overrightarrow{AC}$=（cosα-2，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-2），
若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
可得cosα+sinα=$\frac{1}{2}$，
则（cosα+sinα）=1+2sinαcosα=1+sin2α=$\frac{1}{4}$，
即$sin2α=-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查三角函数与向量的数量积的关系，解题时注意角的范围的应用并准确计算．