Question

10．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2且（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为2．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简，结合基本不等式的性质即可求解△ABC面积的最大值．

解答 解：∵（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，a=2
正弦定理：可得a²-b²=（c-b）c，即b²+c²=4+bc．
∵b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时取等，
∴4+bc≥2bc，
可得bc≤4．
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA$≤\frac{1}{2}×4sinA$=2，（此时b=c=2，A=90°）．
∴△ABC面积最大为：2．
故答案为：2．

点评 本题考查了正弦定理和基本不等式的性质的灵活运用．属于基础题．