Question

5．在直角△ABC中，$A=\frac{π}{2}，|AB|=1，|AC|=2，M$是△ABC内的一点，且$|AM|=\frac{1}{2}$，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，则λ+2μ的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，将$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$两边平方，展开，利用数量积公式得到关于λ，μ的等式，然后结合基本不等式求λ+2μ的最大值．

解答 解：由题意$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$两边平方得到${\overrightarrow{AM}}^{2}={λ}^{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+{μ}^{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}+2λμ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，又$A=\frac{π}{2}，|AB|=1，|AC|=2，M$是△ABC内的一点，且$|AM|=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{1}{4}={λ}^{2}+4{μ}^{2}$$≥\frac{（λ+2μ）^{2}}{2}$，所以λ+2μ$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当λ=2μ时等号成立；
λ+2μ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查了平面向量的运算；考查了基本不等式的运用；关键是由已知向量等式得到λ，μ的关系，利用基本不等式求最大值．