Question

12．设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，f（-1）=-1，且对任意a，b∈[-1，1]，当a≠b时，都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$；
（1）解不等式f$（x-\frac{1}{2}）＜f（2x-\frac{1}{4}）$；
（2）若f（x）≤m²-2km+1对所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意知，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，由f$（x-\frac{1}{2}）＜f（2x-\frac{1}{4}）$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤2x-\frac{1}{4}≤1}\\{x-\frac{1}{2}＜2x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解之可得：-$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{5}{8}$，从而可得不等式f$（x-\frac{1}{2}）＜f（2x-\frac{1}{4}）$的解集为{x|-$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{5}{8}$}；
（2）由奇函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，且f（-1）=-1，可得f（x）_max=f（1）=-f（-1）=1，故m²-2km+1≥f（x）_max=1，即m²-2km≥0恒成立（-1≤k≤1），令g（k）=-2mk+m²，则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+2m≥0}\\{{m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，解之可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
且对任意a，b∈[-1，1]，当a≠b时，都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
又f$（x-\frac{1}{2}）＜f（2x-\frac{1}{4}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤2x-\frac{1}{4}≤1}\\{x-\frac{1}{2}＜2x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{5}{8}$，
∴不等式f$（x-\frac{1}{2}）＜f（2x-\frac{1}{4}）$的解集为{x|-$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{5}{8}$}；
（2）∵奇函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，且f（-1）=-1，
∴f（x）_max=f（1）=-f（-1）=1，
故f（x）≤m²-2km+1对所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立?m²-2km+1≥f（x）_max=1，
∴m²-2km≥0恒成立（-1≤k≤1），
令g（k）=-2mk+m²，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+2m≥0}\\{{m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，解得：m≥2或m≤-2或m=0．
∴实数m的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查函数的奇偶性、单调性及最值，考查函数方程与思想、等价转化思想，属于难题．