Question

1．如图所示，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求当三棱锥A-CBE的体积取得最大值时，直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）欲证平面ACD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，而根据BC⊥平面ADC，DE∥BC，可得DE⊥平面ADC；
（2II）先利用等体积法表示出三棱锥A-CBE的体积，利用基本不等式求最值，由面ACD⊥平面ADE可知，过点D作DF⊥CE交CE于点F，有FD⊥面ACE，连AF，则∠DAF为直线AD与面ACE所成的角，即可求得直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

解答 （I）证明：因为四边形DCBE是平行四边形，所以CD∥BE，CB∥DE，因为DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以DC⊥BC．因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，又DC∩AC=C，且DC，AC在平面ACD内，所以BC⊥平面ACD，因为DE∥BC，所以DE⊥平面ACD，又DE?平面ADE，所以平面ACD⊥平面ADE．…（6分）
（II）解：由（I）可知BE⊥面ABC，
∴V_C-ABE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•BE=$\frac{1}{6}•AC•BC•BE$，
∵AB=2，tan∠EAB=$\frac{1}{2}$，∴BE=1，
又AC²+BC²=4，AC•BC≤2，取等号时AC=$\sqrt{2}$，
由面ACD⊥平面ADE可知，过点D作DF⊥CE交CE于点F，有FD⊥面ACE，连AF，则∠DAF为直线AD与面ACE所成的角，∵DF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AD=$\sqrt{3}$，
∴sin∠DAF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$． …（13分）

点评 本题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及简单组合体体积的计算，考查线面角，属于中档题．