Question

通过计算可得下列等式：
2²-1²=2×1+1；
3²-2²=2×2+1；
4²-3²=2×3+1；
…；
（n+1）²-n²=2n+1
将以上各式相加得：（n+1）²-1²=2×（1+2+3+…+n）+n
所以可得：1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
类比上述求法：请你求出1³+2³+3³+…+n³的值．（提示：12+22+32+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

）

Answer 1

分析：类比1²+2²+…+n²的计算公式的推导过程，可得(n+1)4-n4=

C

1 4

×n3+

C

2 4

×n2+

C

3 4

×n+1，进而得叠加后可得4（1³+2³+…+n³），从而得到1³+2³+…+n³的计算公式．

解答：解：24-14=

C

1 4

×13+

C

2 4

×12+

C

3 4

×1+1，
34-24=

C

1 4

×23+

C

2 4

×22+

C

3 4

×2+1，
44-34=

C

1 4

×33+

C

2 4

×32+

C

3 4

×3+1，
…
(n+1)4-n4=

C

1 4

×n3+

C

2 4

×n2+

C

3 4

×n+1，
将以上各式相加得：(n+1)4-1=

C

1 4

(13+23+33+…+n3)+

C

2 4

(12+22+32+…+n2)+

C

3 4

(1+2+3+…+n)+n
=

C

1 4

(13+23+33+…+n3)+6•

n(n+1)(2n+1)

6

+4•

n(n+1)

2

+n，
∴13+23+33+…+n3=

1

4

•[(n+1)4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1)]
=

n+1

4

[(n+1)3-n(2n+1)-2n-1]=

n+1

4

[n3+3n2+3n+1-n(2n+1)-2n-1]=

n+1

4

[n3+n2]=[

n(n+1)

2

]2．

点评：本题考查的知识点是类比推理，其中已知中的推理过程，类比得到(n+1)4-n4=

C

1 4

×n3+

C

2 4

×n2+

C

3 4

×n+1是解答的关键．