Question

通过计算可得下列等式：2²-1²=2×1+1，3²-2²=2×2+1，4²-3²=2×3+1，┅┅，（n+1）²-n²=2×n+1
将以上各式分别相加得：（n+1）²-1²=2×（1+2+3+…+n）+n，即：1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

类比上述求法：请你求出1²+2²+3²+…+n²的值（要求必须有运算推理过程）．

Answer 1

分析：先在立方公式中，取b=1，那么（a+1）³-a³=3a²+3a+1，再让a=1，2，3，…，n-1，n得2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…，（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，再把这些式子相加可得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，从而可证1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3-1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

解答：解：2³-1³=3×1²+3×1+1，
3³-2³=3×2²+3×2+1，
4³-3³=3×3²+3×3+1
┅┅
（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1---（6分）
将以上各式分别相加得：
（n+1）³-1³=3×（1²+2²+3²+…+n²）+3×（1+2+3…+n）+n
所以：12+22+32+…+n2=

1

3

[(n+1)3-1-n-3

1+n

2

n]=

1

6

n(n+1)(2n+1)---------（12分）

点评：本题考查了类比推理、立方公式．在证明过程中可仿照平方公式的证明方法，注意先对立方公式进行变形．