Question

18．已知函数$f（x）=alnx+\frac{x^2}{2}-（a-1）x，a∈R$．
（1）若函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，求a的取值范围；
（2）当a=-1时，证明：$f（x）≥\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为x²-（a+1）x+a≤0在（1，3）上恒成立，求出a的范围即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的最小值，证出结论即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{a}{x}+x-（a+1）=\frac{{{x^2}-（a+1）x+a}}{x}$，
因为函数f（x）在（1，3）上单调增，
故f'（x）≤0即x²-（a+1）x+a≤0在（1，3）上恒成立，
∴a≥x，∴a≥3．
（2）证明：当a=-1时，$f（x）=-lnx+\frac{x^2}{2}$，
$f'（x）=-\frac{1}{x}+x=\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，
令f'（x）=0得x=1或x=-1（舍）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

∴x=1时，f（x）取得最小值$f（1）=\frac{1}{2}$，
∴$f（x）≥\frac{1}{2}$成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．