Question

已知点Q（1，0）在椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上，且椭圆C的离心率

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（m，0）作直线交椭圆C于点A，B，△ABQ的垂心为T，是否存在实数m，使得垂心T在y轴上．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意可得

0+ 1 b2 =1 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）假设存在实数m，使得垂心T在y轴上．当直线斜率不存在时，设A（m，n），B（m，-n），此时T（0，0）．则

AT

•

BQ

=0，又

n2

2

+m2=1，联立解得即可．当直线斜率存在时，设T（0，t）（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线方程为：y=k（x-m），则直线QT的斜率为-t，由于AB⊥QF，可得k=-

1

t

，由于BT⊥AQ可得（-x₂，t-y₂）•（1-x₁，-y₁）=0，即x₁x₂+y₁y₂=x₂+ty₁，与椭圆方程联立得到△＞0即根与系数的关系即可得出．

解答：解：（I）由题意可得

0+ 1 b2 =1 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得b=c=1，a²=2．
∴椭圆C的方程为

y2

2

+x2=1；
（II）假设存在实数m，使得垂心T在y轴上．
当直线斜率不存在时，设A（m，n），B（m，-n），此时T（0，0）．
则

AT

•

BQ

=0，∴n²+m（1-m）=0，
又

n2

2

+m2=1，联立解得m=-

2

3

或m=1（舍去），∴m=-

2

3

．
当直线斜率存在时，设T（0，t）（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线方程为：y=k（x-m），则直线QT的斜率为-t，
∵AB⊥QT，∴k=-

1

t

，
又∵BT⊥AQ，∴（-x₂，t-y₂）•（1-x₁，-y₁）=0，即x₁x₂+y₁y₂=x₂+ty₁，
∴x1x2+y1y2=x2+t(

1

t

x1-

1

t

m)，x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂-m，（*）
联立

y= 1 t (x-m) x2+ y2 2 =1

化为（2t²+1）x²-2mx+m²-2t²=0，
∵△＞0，∴2t²+1-m²＞0，∴x1+x2=

2m

2t2+1

，x1x2=

m2-2t2

2t2+1

，
∵y1y2=

1

t2

(x1-m)(x2-m)=

1

t2

[x1x2-m(x1+x2)+m2]=

2m2-2

2t2+1

，代入（*）可得2t²=

3m2-m-2

1-m

=-3m-2，
∵2t²＞0，∴m＜-

2

3

．
∴m²+3m+1＜0，解得-

3+ 5

2

＜m＜-

3- 5

2

，
综上可知：实数m的取值范围为-

3+ 5

2

＜m≤-

2

3

．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系等是解题的关键．