Question

给出以下四个结论：
（1）函数f(x)=

x-1

2x+1

的对称中心是(-

1

2

，-

1

2

)；
（2）若关于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≥2；
（3）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，当a＞0且a≠1，b＞0时，

b

a-1

的取值范围为(-∞，-

1

3

)∪(

2

3

，+∞)；
其中正确的结论是：

 

．

Answer 1

分析：把函数通过分子常数化变化成反比例函数的形式，写出对称中心，得到第一个说法不正确；构造函数，求出函数的值域，根据函数值域得到所给的k的值能够使得函数有根，直线与线段PQ有交点，根据要求的结果是PQ两点连线的斜率．

解答：解：∵函数f(x)=

x-1

2x+1

=

1

2

•

x-1

x+ 1 2

=

1

2

[1- 

3 2

x+ 1 2

]=-

3 4

x+ 1 2

+

1

2

，
∴函数的对称中心是（-

1

2

，

1

2

)，故（1）不正确．
令f（x）=x-

1

x

+k，函数是一个递增函数，
当x∈（0，1）时，
函数的值从负无穷变化到接近于0，
∴当k≥2时，函数与x轴有交点，故（2）不正确，
点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，
即直线与线段PQ有交点，
根据要求的结果是PQ两点连线的斜率，
得到斜率范围为(-∞，-

1

3

)∪(

2

3

，+∞)，故（3）正确，
故答案为：（3）

点评：本题考查图形的对称性，考查根的存在性与根的个数的判断，考查直线与线段之间的关系，是一个综合题目．