Question

9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，D，F分别是棱BC，B₁C₁的中点，E是棱CC₁上的一点．求证：
（1）直线A₁F∥平面ADE；
（2）直线A₁F⊥直线DE．

Answer 1

分析 （1）连结DF，证明四边形AA₁FD为平行四边形，得出A₁F∥AD，从而证明A₁F∥平面ADE；
（2）证明AD⊥BC，且AD⊥BB₁，得出AD⊥平面BB₁C₁C，从而证明直线AD⊥直线DE．

解答 解：（1）证明：连结DF，
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，D，F分别是棱BC，B₁C₁上的中点，
所以DF∥BB₁且DF=BB₁，AA₁∥BB₁且AA₁=BB₁；
所以DF∥AA₁且DF=AA₁，
所以四边形AA₁FD为平行四边形，…（4分）
所以A₁F∥AD，
又因为A₁F?平面ADF，AD?平面ADF，
所以直线A₁F∥平面ADE；      …（6分）
（2）证明：因为AB=AC，D是棱BC的中点，
所以AD⊥BC；…（8分）
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以BB₁⊥平面ABC；
又因为AD?平面ABC，
所以AD⊥BB₁；             …（10分）
因为BC，BB₁?平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B，
所以AD⊥平面BB₁C₁C，…（12分）
又因为DE?平面BB₁C₁C，
所以直线AD⊥直线DE．     …（14分）

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与证明能力的应用问题，是综合性题目．