Question

设x=3是函数f(x)=

e3(x2+ax+b)

ex

，(a＞0，x∈R)的一个极值点．
（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调递增区间；
（2）设g(x)=(a2+

25

4

)ex，若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=

e3(x2+ax+b)

ex

，(a＞0，x∈R)的一个极值点是x=3．我们根据函数在某点取得极值的条件，易得f′（3）=0，进而构造方程求出a与b的关系式，分析函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
（2）根据g(x)=(a2+

25

4

)ex，利用导数法确定函数的单调性，再根据（1）的结论，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

e3(x2+ax+b)

ex

，(x∈R)，
∴f′(x)=

e3(-x2+2x-ax+a-b)

ex

，
∵函数f(x)=

e3(x2+ax+b)

ex

，(a＞0，x∈R)的一个极值点是x=3．
∴f′(3)=

e3(-32+2×3-3a+a-b)

e3

=0，
∴b=-2a-3，
∵a＞0，令f′(x)=

e3(-x2+2x-ax+3a+3)

ex

＞0，
即x²-（2-a）x-（3+1）a＜0
解得：-1-a＜x＜3，
所以f（x）的单调递增区间是：[-1-a，3]；
（2）由（1）可得，函数f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴f_max（x）=f（3）=a+6，且f(0)=-(2a+3)e3＜f(4)=

e3(13+2a)

e4

∴函数f（x）在x∈[0，4]的值域为[-（2a+3）e³，a+6]，
又g′(x)=(a2+

25

4

)ex＞0，
∴g（x）在[0，4]上单调递增，
故g（x）在x∈[0，4]的值域为[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)e4]，
若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，
等价于|f_max（x）-g_min（x）|＜1或|g_max（x）-f_min（x）|＜1，
又∵a2+

25

4

≥a+6，
于是：

(a2+ 25 4 )-(a+6)＜1 a＞0

，
解得：0＜a＜

3

2

； 
∴实数a的取值范围是：(0，

3

2

)．

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知中的函数的解析式，结合导数公式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．