Question

设l，m，n是互不重合的直线，α⊥β，l?α，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是

1. A.
   若l⊥α，l∥β，则α⊥β
2. B.
   若α⊥β，l?α，则l⊥β
3. C.
   若l⊥n，m⊥n，则l∥m
4. D.
   若α⊥β，l?α，n?β，则l⊥n

Answer 1

A
分析：根据线面平行的性质定理，结合面面垂直的判定定理，可证出A是正确的；根据面面垂直的性质定理，可以举反例得出B错误；根据直线与平面垂直的定义，举反例可得C错误，根据直线与直线垂直的定义，举反例可得D项错误．
解答：对于A，经过l作一个平面γ，设β∩γ=m
因为l∥β，所以l∥m，结合l⊥α，所以m⊥α
所以平面β经过平面α的垂线，因此α⊥β，故A正确；
对于B，若α⊥β，且α∩β=a，在α内作直线l与直线a斜交，
则l?α，但“l⊥β”不成立，故B错误；
对于C，若l⊥n，m⊥n，则l与m可能是相交直线
反例：若n⊥α，且l、m是α内的相交直线，
则l⊥n与m⊥n同时成立，故C错；
对于D，若α⊥β，且α∩β=l，在β内作直线n与直线l斜交，
可得l?α，n?β，但l与n不垂直．故D错误．
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了平面与平面垂直、直线与平面垂直，以及直线与直线平行、垂直的判定，同时还考查了空间的平行与垂直之间的联系，属于基础题．