Question

17．已知sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），则sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 由α的范围求出α+$\frac{π}{4}$的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+$\frac{π}{4}$）的值，原式中的角度变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{3}{5}$，
则sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-（-\frac{3}{5}）×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．