Question

7．已知点A（1，0），M（1+cos2x，1），N（2，$\sqrt{3}$sin2x+2m），x∈R，m∈R，m是常数，且y=$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，且f（x）的最小值为6，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量坐标以及向量的数量积公式求出y，利用辅助角公式即可求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，结合三角函数的性质利用f（x）的最小值为6，建立方程关系即可求m的值．

解答 解：（1）∵A（1，0），M（1+cos2x，1），N（2，$\sqrt{3}$sin2x+2m），
∴$\overrightarrow{AM}$=（cos2x，1），$\overrightarrow{AN}$=（1，$\sqrt{3}$sin2x+2m），
则y=$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（cos2x，1）•（1，$\sqrt{3}$sin2x+2m）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2m
=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2m，
即y=f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2m；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
则当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值为6，
则2cos（-$\frac{π}{3}$）+2m=2×$\frac{1}{2}$+2m=1+2m=6，
则2m=5，解得m=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简和求值，利用向量的数量积公式结合三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．