Question

2．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$，求$\sqrt{2}$a+b的取值范围．

Answer 1

分析 曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$，即$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$≤2$\sqrt{2}$．设M（-1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2$\sqrt{2}$，|BD|≤2$\sqrt{2}$，解出即可．

解答 解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），
当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；
当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；当x≤0，y≤0时，
化为-ax-by=1．画出图象：表示菱形ABCD．
由$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$≤2$\sqrt{2}$．
设M（-1，0），N（1，0），
则2|PM|≤2$\sqrt{2}$，|BD|≤2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{b}^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，$\frac{2}{a}$≤2$\sqrt{2}$，
解得b≥1，$\sqrt{2}$a≥1，
∴$\sqrt{2}$a+b≥1+1=2．
∴$\sqrt{2}$a+b取值范围为[2，+∞）．

点评 本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．