Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）g（x）=a（x-1）²+1+b-a（a＞0），
当a＞0时，g（x）在区间[2，3]上为增函数，
故，即，解得------
（Ⅱ）f（x）-kx≥0化为：x+-2≥kx，
∵x＞0，
∴1+-≥k，
∵1+-=≥0（当x=1时取等号）
∴k≤0．----
（Ⅲ）方程f（|2^x-1|）+k（-3）=0可化为：
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0，
令|2^x-1|=t，则方程化为
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵方程|2^x-1|+-（2+3k）=0有三个不同的实数解，
∴由t=|2^x-1|的图象知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1．
记φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），
则或
∴k＞0------
分析：（Ⅰ）由g（x）=a（x-1）²+1+b-a（a＞0）在[2，3]上为增函数，可得，从而可求得a、b的值；
（Ⅱ）f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立?k≤1+-=（x＞0）恒成立，从而可求得实数k的取值范围；
（Ⅲ）方程f（|2^x-1|）+k（-3）=0?|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，（|2^x-1|≠0），令|2^x-1|=t，则t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．