Question

过抛物线y²=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=-a作垂线，垂足分别为M₁，N₁．
（1）当a=

P

2

时，求证：AM₁⊥AN₁；
（2）记△AMM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面积分别为S₁，S₂，S₃，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有 S₂²=λS₁?S₃成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=

p

2

时，如图所示，设M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．则M1(-

p

2

，y1)，N1(-

P

2

，y2)，A(

p

2

，0)．由题意可设直线MN的方程为my+

p

2

=x，与抛物线方程联立得到根与系数的关系．只要证明

AM1

•

AN1

=0即可．
（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有 S₂²=λS₁?S₃成立．设M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．则M₁（-a，y₁），N₁（-a，y₂），不妨设y₁＞0．设直线MN：my+a=x，与抛物线方程联立得到根与系数的关系，用坐标分别表示S₁，S₂，S₃．利用 S₂²=λS₁?S₃成立即可得出λ．

解答：解：（1）当a=

p

2

时，如图所示，设M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．则M1(-

p

2

，y1)，N1(-

P

2

，y2)，A(

p

2

，0)．
则

AM1

•

AN1

=（-p，y₁）•（-p，y₂）=p²+y₁y₂．（*）
设直线MN的方程为my+

p

2

=x，联立

my+ p 2 =x y2=2px

，化为y²-2pmx-p²=0．
∴y1y2=-p2．
代入（*）可得

AM1

•

AN1

=p²-p²=0．
∴AM₁⊥AN₁；
（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有 S₂²=λS₁?S₃成立．
设M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．则M₁（-a，y₁），N₁（-a，y₂），不妨设y₁＞0．
设直线MN：my+a=x，联立

x=my+a y2=2px

，化为y²-2pmy-2pa=0．
∵△＞0成立，∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2pa．
S₁=

1

2

|MM1|y1=

1

2

(

y 2 1

2p

+a)y1，
同理S₃=

1

2

(

y 2 2

2p

+a)(-y2)，S2=

1

2

×2a×|y1-y2|．
∴S₁S₃=

1

4

(-y1y2)(

y 2 1

2p

+a)(

y 2 2

2p

+a)=-

1

4

y1y2[

y 2 1 y 2 2

4p2

+

a

2p

(

y

2 1

+

y

2 2

)+a2]=

2pa

4

[

4p2a2

4p2

+

a

2p

(4p2m2+4pa)+a2]=pa²（pm²+2a）．

S

2 2

=a2[(y1+y2)2-4y1y2]=a²（4p²m²+8pa）=4pa²（pm²+2a），
∴4pa²（pm²+2a）=λpa²（pm²+2a），解得λ=4．
故存在λ=4，使得对任意的a＞0，均有 S₂²=λS₁?S₃成立．

点评：本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．