Question

已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证：b⊥（a+tb）．

Answer 1

分析：（1）设出两个向量的夹角，表示出两个向量的模长，对于模长形式，通常两边平方，得到与已知条件有关的运算，整理成平方形式，当底数为零时，结果最小．
（2）本题要证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，合并同类项，得到数量积为零．得到垂直．

解答：（1）解：设

a

与

b

的夹角为θ，
∵|

a

+t

b

|²=（

a

+t

b

）²=|

a

|²+t²|

b

|²+2

a

•（t

b

）=|

a

|²+t²|

b

|²+2t|

a

||

b

|cosθ
=|

b

|²（t+

| a |

| b |

cosθ）²+|

a

|²sin²θ，
∴当t=-

| a |

| b |

  cosθ=-

|a||b|cosθ

|b|2

=-

a • b

| b |2

时，|

a

+t

b

|有最小值．
（2）证明：∵

b

•（

a

+t

b

）=

b

•（

a

-

a•b

|b|2

•

b

）=

a

•

b

-

a

•

b

=0，
∴

b

⊥（

a

+t

b

）．

点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．?