Question

规定记号“□”表示一种运算，即：a□b=a²+2ab-b²，设函数f（x）=x□2，且关于x的方程为f（x）=lg|x+2|（x≠-2）恰有四个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的值是（　　）

A．-4

B．4

C．8

D．-8

Answer 1

分析：由题意可得f（x）=x²+4x-4，可得图象关于x=-2对称，由函数图象的变换可得函数y=lg|x+2|的图象关于直线x=-2对称，进而可得四个根关于直线x=-2对称，由此可得其和．

解答：解：由题意可得f（x）=x□2=x²+4x-4，
其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-2，
函数y=lg|x+2|可由向左平移2个单位得到，
而函数函数y=lg|x|为偶函数，图象关于y轴对称，
故函数y=lg|x+2|的图象关于直线x=-2对称，
故方程为f（x）=lg|x+2|四个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，
也关于直线x=-2对称，不妨设x₁与x₂对称，x₃与x₄对称，
必有x₁+x₂=-4，x₃+x₄=-4，
故x₁+x₂+x₃+x₄=-8，
故选D

点评：本题考查函数的零点，由新定义得出函数解析式并得出两个函数图象均关于直线x=-2对称是解决问题的关键，属中档题．